Question

3．△ABC中，AB=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，点D在边AC上，BD=$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{BD}$=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA|}sinA}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC|}sinC}$）（λ＞0）则sinA的值为$\frac{\sqrt{70}}{14}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{BD}$=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA|}sinA}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC|}sinC}$），容易判断点D为AC的中点，由三角形的中线长定理和余弦定理，可得AC，BC的长，再由正弦定理，可得sinA．

解答 解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，
则$\overrightarrow{BD}$=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA|}sinA}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC|}sinC}$）（λ＞0）
=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BE}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BE}|}$）=$\frac{2λ\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{BE}|}$；
∴$\overrightarrow{BD}$和$\overrightarrow{BF}$共线，∴D点和F点重合，∴D是AC的中点，
由中线长定理可得，BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2A{B}^{2}+2B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{64}{3}+2B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，即为AC²=$\frac{32}{3}$+BC²-$\frac{8\sqrt{6}}{3}$•BC•$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
解方程可得BC=2，AC=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，可得sinA=$\frac{BC•sinB}{AC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{2\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{70}}{14}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{70}}{14}$．

点评 本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．