Question

如图所示三棱锥P-ABC中，异面直线PA与BC所成的角为90°，二面角P-BC-A为60°，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC=4．
求：（1）PA的长；
（2）三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥BC于D，连PD，说明∠PDA为二面角的平面角，求出PD，AD，然后利用余弦定理，求出PA．
（2）求出三角形PAD的面积与BC乘积的

1

3

，即可得到几何体的体积．

解答：解：（1）作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角
的平面角，∴∠PDF=60°，可算出PD=8，AD=5，∴PA=

AD2+DP2-2AD•PDcos60°

=7．
（2）V=

1

3

×

1

2

PD•ADsin60°•BC=

1

3

×

1

2

×8×5×

3

2

×4=

40 3

3

点评：本题考查异面直线所成的角，二面角，几何体的体积的求法，余弦定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．