Question

已知z是复数，z+i和

z

1-i

都是实数，（1）求复数z；（2）设关于x的方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0有实根，求纯虚数m．

Answer 1

分析：（1）设z=a+bi，根据z+i为实数可求出b的值，然后根据复数的除法求出

z

1-i

的值，根据

z

1-i

为实数可求出a的值，从而求出复数z；
（2）设纯虚数m=ci代入方程x²+x（1+z）-（3m-1）i=0，然后根据复数相等的定义可求出纯虚数m．

解答：解：（1）设z=a+bi，则z+i=a+（b+1）i
∵z+i为实数∴b=-1

z

1-i

=

a+bi

1-i

=

a-i

1-i

=

(a-i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

a+1+(a-1)i

2

∵

z

1-i

为实数
∴a=1则z=1-i
（2）设纯虚数m=ci则x²+x（2-i）-（3ci-1）i=0有实根
即x²+2x+3c+（1-x）i=0
∴x=1，c=-1
∴纯虚数m为-i

点评：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及纯虚数的定义和复数相等的充要条件，属于中档题．