Question

8．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是面A′C′，面B′C，面CD′的中心，则AE与FG所成的角大小为多少？

Answer 1

分析 以D′为原点，D′A′为x轴，D‘C’为y轴，D′D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与FG所成的角大小．

解答 解：以D′为原点，D′A′为x轴，D‘C’为y轴，D′D为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为2，
则由题意A（2，0，2），E（1，1，0），F（1，2，1），G（0，1，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{FG}$=（-1，-1，0），
设AE与FG所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FG}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{FG}|}$=$\frac{|1-1+0|}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=0，
∴AE与FG所成的角大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．