Question

若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，

即，求；

（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2） ；(3）．

【解析】

试题分析：（1）根据，得到，即是“平方递推数列”．

进一步对两边取对数得 ，利用等比数列的定义证明.

（2）首先得到 ， 应用等比数列的求和公式即得.

(3）求通项、求和，根据，得到，再根据，即得解.

试题解析：（1）由题意得：，即 ，

则是“平方递推数列”． 2分

对两边取对数得 ，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 4分

（2）由（1）知 5分

8分

(3） 9分

10分

又，即 11分

又，所以． 12分

考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，等差数列的求和公式.