Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

时，求实数t取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

2

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

2

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．
即a²=2b²．（2分）
又因为b=

2

1+1

=1，所以a²=2，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k2＜

1

2

．（6分）
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

∵

OA

+

OB

=t

OP

∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

∵点P在椭圆上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，∴16k²=t²（1+2k²）．（8分）
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜

20

9

∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4•

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k2＞

1

4

．（10分）
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，∵16k²=t²（1+2k²），∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，∴实数t取值范围为(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求实数t取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．