Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅+a₁₂=3，a₇•a₁₀=-18，且S_n有最大值．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|．

Answer 1

分析 （1）根据题意判断出d＜0、a₁＞0，由等差数列的性质和韦达定理化简已知的条件，由等差数列的通项公式求出首项和公差，代入通项公式化简，判断各项与零的关系，从而求出S_n的最大值；
（2）根据（1）先求出数列{a_n}的前n项和，再由a_n的正负项对n进行分类，利用等差数列的前n项和公式，分别化简并求出数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d，首项是a₁，
由S_n有最大值得，d＜0，a₁＞0，则数列{a_n}是递减数列，
因为a₅+a₁₂=3，a₇•a₁₀=-18，所以a₇+a₁₀=3，a₇•a₁₀=-18，
则a₇、a₁₀是方程x²-3x-18=0两个根，
解得a₇=6、a₁₀=-3或a₇=-3、a₁₀=6（舍去），
则d=-3，a₁=24，所以a_n=24+（n-1）×（-3）=-3n+27，
令a_n=-3n+27=0得，n=9，
则当n≤9时，a_n≥0，当n＞9时，a_n＜0，
所以（S_n）_max=S₈=S₉=9×24+$\frac{9×8}{2}×（-3）$=108；
（2）由（1）可得S_n=24n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-3）$=$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{51}{2}n$，
当n≤9时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{51}{2}n$，
当n＞9时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₉-（a₁₀+a₁₁+…+a_n）
=-S_n+2S₉=-（$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{51}{2}n$）+2×108=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{51}{2}n+216$，
综上可得，${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{51}{2}n，1≤n≤9}\\{\frac{3}{2}{n^2}-\frac{51}{2}n+216，n≥10}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用分类讨论思想求数列的前n项和，考查化简、计算能力，这是常考的题型．