Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC．
（Ⅰ） 求角A
（Ⅱ） 设f（B）=sin²B+sin²C，求f（B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简已知得等式，再利用正弦定理得到关于a，b和c的关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）把f（B）利用二倍角的余弦函数公式化简，由（Ⅰ）中求出的A的度数，得到B和C的关系，表示出C，代入化简后的式子中，合并后利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，令这个角等于

π

2

，即可求出此时B的度数和f（B）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinB•sinC得：
sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，（2分）
由正弦定理得：b²+c²-a²=bc，（4分）
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；（6分）
（Ⅱ）f（B）=

1-cos2B

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

（cos2B+cos2C），（8分）
由（Ⅰ）得B+C=π-A=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B，
∴f（B）=1-

1

2

[cos2B+cos（

4π

3

-2B）]=1-

1

2

[cos2B-cos（

π

3

-2B）]
=1-

1

2

（cos2B-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B）=1+

1

2

sin（2B-

π

6

），（10分）
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
令2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）取得最大值

3

2

．（12分）

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．