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设函数y=f(x)是定义域在R,并且满足,且当x>0时,f(x)>0。
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)如果,求x的取值范围。
解:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0;
(2)令y=-x,得

故函数f(x)是R上的奇函数
(3)任取,则


故f(x)是R上的增函数


又由y=f(x)是定义在R上的增函数,
,解之得
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x3,则下列四个命题:
①f(x)是以4为周期的周期函数.
②f(x)在[1,3]上的解析式为f (x)=(2-x)3
③f(x)在(
3
2
,f(
3
2
))
处的切线方程为3x+4y-5=0.
④f(x)的图象的对称轴中,有x=±1,其中正确的命题是(  )
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和f(
19
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-12,12]上的值域为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义在正实数上的增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求证:f(
xy
)=f(x)-f(y);
(2)若f(3)=1,f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列五个命题:
①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;
②当x∈[1,3]时,f(x)=( x-2)3
③直线x=±1是函数y=f(x)图象的对称轴;
④点(2,0)是函数y=f(x)图象的对称中心;
⑤函数y=f(x)在点(
3
2
,f(
3
2
))处的切线方程为3x-y-5=0.
其中正确的是
①③
①③
.(写出所有正确命题的序号)

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