Question

以下各命题：
①若棱柱的两个相邻侧面是矩形，则它是直棱柱；
②若用一个平行于三棱锥底面的平面去截它，把这个三棱锥分成体积相等的两部分，则
截面面积与底面面积之比为1：

2

；
③垂直于两条异面直线，且到它们的距离都为同一定值d（d＞0）的直线一共有4条；
④存在侧棱长与底面边长相等的正六棱锥．
其中正确的有

①③

（填写正确命题的序号）

Answer 1

分析：对于①说明侧棱垂直底面；②由一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，截面面积与底面面积之比等于相似比的平方，容易得出答案．③画出示意图即可；④若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60度，六个顶角的和为360度，这是不可能的，故侧棱长 l和底面正六边形的边长不可能相等．从而选出答案．

解答：解：对于①，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而①正确；
②若用一个平行于三棱锥底面的平面去截它，把这个三棱锥分成体积相等的两部分，则小棱锥与大棱锥的体积之比为

1

2

，相似比为：

1

3 2

，截面面积与底面面积之比为

1

3 4

；故错；
对于③，四条，如图：
平行线中，虚线实线的距离为2，过那四个交点的垂直于平面的四条直线就是所求．
④若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，
则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60度，
∴六个顶角的和为360度，
这样一来，六条侧棱在同一个平面内，
这是不可能的，故错．
其中正确的有①③
故答案为①③．

点评：本题考查棱柱的结构特征、棱锥的结构特征、异面直线的判定，是基础题．