Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立．
（1）求b、c之间的关系式；
（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）-m²x在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可得答案．
（2）先假设存在m满足条件，再写出函数g（x）的解析式故居其在区间（0，+∞）上单调进行解题．

解答：解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0．
（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在．
∵g（x）=f（x）-m²x=x²+（b-m²）x+c开口向上，且在[

m2-b

2

，+∞）上单调递增，
∴

m2-b

2

≤0．∴b≥m²≥0．
∵c≥3，∴b=-（c+1）≤-4．
这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在．

点评：本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．