Question

已知点P为圆周x²+y²=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1），
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），
而P点在圆上，
所以；
（2），
而，
故当时，△OAB面积的最大值为1，
此时，直线l的方程为：。
（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，
，MN的中点，
于是，
，
，………………………………………①
而，
故，
，
而，
故，
可得：，…………………………………②
由①②得：，
故。