Question

已知f（x）是一个定义在R上的函数，求证：
（1）g（x）=f（x）+f（-x）是偶函数；
（2）h（x）=f（x）-f（-x）是奇函数；
（3）请举一个具体的函数f（x），并写出由它构成的一个偶函数和一个奇函数．

Answer 1

解：（1）因为x∈R，g（-x）=f（-x）+f[-（-x）]=f（-x）+f（x）=g（x）
所以g（x）=f（x）+f（-x）是偶函数．
（2）因为x∈R，h（-x）=f（-x）-f[-（-x）]
=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-h（x）
所以h（x）=f（x）-f（-x）是奇函数．
（3）如：f（x）=2^x，由（1）、（2）可得：偶函数：g（x）=2^x+2^-x
奇函数：h（x）=2^x-2^-x
答案不唯一．
分析：（1）由f（x）的定义域为R，则知g（x）的定义域也为R，关于原点对称，只要看g（-x）与g（x）的关系即可．
（2）由f（x）的定义域为R，则知h（x）的定义域也为R，关于原点对称，只要看h（-x）与h（x）的关系即可．
（3）按照（1）（2）的条件去找，找的方向应该也从定义域为R的基本函数入手．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断方法，要先看定义域，再看-x与x对应函数值之间的关系．