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已知c为常数,s2=
1
n
[(x1-
.
x
2+(x2-
.
x
2+…+(xn-
.
x
2],sc2=
1
n
[(x1-c)2+(x2-c)2+…+(xn-c)2].证明:s2≤sc2,当且仅当c=
.
x
时,取“=”.
分析:证明sc2≥s2,可证明sc2-s2≥0.因此应用方差公式进行变形得到完全平方式即可得到大于等于0.
解答:证明:∵
.
x
=
x1+x2+…+xn
n

∴s2=
1
n
[(x1-
.
x
2+…+(xn-
.
x
2]=
1
n
[(x12+x22+…+xn2)-2
.
x
(x1+x2+…+xn)+n
.
x
2
]=
1
n
[(x12+x22+…+xn2)-n
.
x
2],
sc2=
1
n
[(x1-c)2+(x2-c)2+…+(xn-c)2]=
1
n
[(x12+x22+…+xn2)-2c(x1+x2+…+xn)+nc2],
∴sc2-s2=
.
x
2-
2c
n
(x1+x2+…+xn)+c2
=
.
x
2-2c•
.
x
+c2=(
.
x
-c)2≥0.
∴sc2≥s2,当且仅当
.
x
=c时取“=”.
点评:本题考查学生会求一组数据的平均数、方差.学生证明时,掌握作差是比较大小的常用手段.
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4

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1
2
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2
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x
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.
x
2],sc2=
1
n
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.
x
时,取“=”.

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