Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，BF⊥平面ACE，AE=EB=BC，
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质定理可得AE⊥BC，BF⊥AE，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）连接 GF，利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理即可得出GF∥AE，再利用线面平行的判定定理即可证明．

解答：证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．
（2）连接 GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F为EC的中点；
∵矩形ABCD中，G为AC的中点，
∴GF∥AE．
又∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．

点评：熟练掌握线面垂直的判定和性质定理、矩形的性质和等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．