Question

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c，cos2A+

1

2

=sin2A，a=

7

．
（1）若b=3，求c；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：把已知的等式cos²A+

1

2

=sin²A变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2A的值，由A为锐角，得到A的范围，进而得到2A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，
（1）由A的度数求出cosA的值，利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把a，b及cosA的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值；
（2）由A的度数求出sinA的值，利用余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，把a，cosA的值代入，并利用基本不等式进行化简，可求出bc的最大值，然后由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，把bc的最大值及sinA的值代入，即可求出面积的最大值．

解答：解：∵cos²A+

1

2

=sin²A，
∴cos²A-sin²A=-

1

2

，即cos2A=-

1

2

，
又0＜A＜

π

2

，∴0＜2A＜π，
∴2A=

2π

3

，即A=

π

3

，
（1）∵a=

7

，b=3，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：7=9+c²-3c，即c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2，
而当c=1时，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2 7

＜0，与B为锐角矛盾，
∴c=1舍去，即c=2；
（2）∵a=

7

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=7，
又b²+c²≥2bc，
∴b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤7，
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×7×

3

2

=

7 3

4

，
则△ABC面积的最大值为

7 3

4

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的余弦函数公式，余弦函数的图象与性质，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．