Question

已知x=1是的一个极植点
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵x=1是的一个极值点
∴f′（1）=0
∵
∴2+b+1=0
∴b=-3
∴
令，x＞0可得x＞1
∴函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）=2x+lnx
设过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的切点坐标为（x₀，y₀）
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2）
∴2x₀+lnx₀-5=（2+）（x₀-2）
∴lnx₀+-2=0
令h（x）=lnx+-2，则
令可得x=2
当0＜x＜2时，h′（x）＜0；当x＞2时，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=＞0
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．
分析：（1）根据x=1是的一个极值点，可得f′（1）=0，从而可求b的值，令导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；
（2）设过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的切点坐标为（x₀，y₀），求出切线方程，可得lnx₀+-2=0，构建函数h（x）=lnx+-2，求导数，确定函数的单调性，可得h（x）与x轴有两个交点，从而可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，解题的关键是正确求导，属于中档题．