Question

已知

a

=（2sinx，-cos2x），

b

=（6，-2+sinx），

c

=（

1

2

cosx，sinx）．其中0≤x≤

π

2

．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求sinx的值；
（Ⅱ）设f（x）=

a

•（

b

-

c

）+3

b

2，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过

a

∥

b

，推出关于sinx的表达式，然后根据x的范围求出sinx的值．
（Ⅱ）求出f（x）=

a

•（

b

-

c

）+3

b

2的相关量，然后求f（x）的表达式，结合x的范围求出函数的最大值．

解答：解：（1）由

a

∥

b

得
2sinx（-2+sinx）=-6cos2x（2分）
∴-4sinx+2sin²x=-6（1-2sin²x）
∴5sin²x+2sinx-3=0    （sinx+1）（5sinx-3）=0
因为0≤x≤

π

2

．所以sinx=

3

5

（6分）
（2）

b

-

c

=（6-

1

2

cosx，-2）
∴f（x）=2sinx（6-

1

2

cosx）+2cos2x+3[36+（-2+sinx）²]
=12sinx-sinxcosx+2cos2x+108+3sin²x-12sinx+12
=120-

1

2

sin2x+2cos2x+3-

1-cos2x

2

=120+

3

2

-

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

243

2

-

2

2

sin(2x-

π

4

)（10分）
因为0≤x≤

π

2

．∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

-

2

2

≤sin(2x-

π

4

)≤1，
∴f(x)max=

243

2

-

2

2

(-

2

2

)=122（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，考查计算能力，注意函数的最值的求法角的范围的应用．