Question

已知P（x₀，y₀）是圆C：x²+（y-4）²=1外一点，过P作圆C的切线，切点为A、B，记：四边形PACB的面积为f（P）
（1）当P点坐标为（1，1）时，求f（P）的值；
（2）当P（x₀，y₀）在直线3x+4y-6=0上运动时，求f（P）最小值；
（3）当P（x₀，y₀）在圆（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，指出f（P）的取值范围（可以直接写出你的结果，不必详细说理）；
（4）当P（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+y²=1上运动时f（P）=5是否能成立？若能求出P点坐标，若不能，说明理由．

Answer 1

分析：通过△PAC，△PBC是两个全等直角三角形求出f（P）的表达式，
（1）当P点坐标为（1，1）时，求出|PC|，即可求f（P）的值；
（2）当P（x₀，y₀）在直线3x+4y-6=0上运动时，利用点到直线的距离公式求出距离最小值，即可求f（P）最小值；
（3）当P（x₀，y₀）在圆（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，求出|CD|，|PC|的范围，即可指出f（P）的取值范围；
（4）利用f（P）=5求出pc，通过联立方程组利用判别式判断P复数存在．

解答：解：因为△PAC，△PBC是两个全等直角三角形，
∴f（P）=2S_△PAC=|PA|•|AC|=|PA|=

PC2-1

              …（3分）
（1）∵P（1，1），C（0，4），∴|PC|=

10

，∴f（P）=3             …（5分）
（2）P（x₀，y₀）在直线3x+4y-6=0上运动时，|PC|的最小值为点C到直线3x+4y-6=0的距离d，d=2，
∴f（P）的最小值为

3

                      …（8分）
（3）P（x₀，y₀）在圆D：（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，|CD|=5，
|PC|∈[3，7]，f（P）∈[2

2

，4

3

]…（11分）
（4）f（p）=5?|PC|²=26?x₀²+（y₀-4）²=26，

x 2 0

4

+

y

2 0

=1代入得：
3y₀²+8y₀+6=0，△=-8＜0，故满足条件的P点不存在．      …（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离函数表达式值的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．