Question

考虑坐标平面上以O（0，0），A（3，0），B（0，4）为顶点的三角形，令C₁，C₂分别为△OAB的外接圆、内切圆．请问下列哪些选项是正确的？
（1）C₁的半径为2
（2）C₁的圆心在直线y=x上
（3）C₁的圆心在直线4x+3y=12上
（4）C₂的圆心在直线y=x上
（5）C₂的圆心在直线4x+3y=6上．

Answer 1

O，A，B三点的位置如右图所示，C₁，C₂为△OAB的外接圆与内切圆，
∵△OAB为直角三角形，
∴C₁为以线段AB为直径的圆，故半径为

1

2

|AB|=

5

2

，
所以（1）选项错误；
又C₁的圆心为线段AB的中点(

3

2

，2)，此点在直线4x+3y=12上，
所以选项（2）错误，选项（3）正确；
如图，P为△OAB的内切圆C₂的圆心，
故P到△OAB的三边距离相等均为圆C₂的半径r．
连接PA，PB，PC，可得：S_△OAB=S_△POA+S_△PAB+S_△POB
?

1

2

×3×4=

1

2

×3×r+

1

2

×5×r+

1

2

×4×r?r=1
故P的坐标为（1，1），此点在y=x上．
所以选项（4）正确，选项（5）错误，
综上，正确的选项有（3）、（4）．