Question

已知函数(k为常数)，是函数图像上的点．

（1）求实数k的值及函数的解析式；

（2）将的图像按向量平移得到函数y=g(x)的图像．

若对任意的恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）k=－3  f^－1(x)=log₃(x+3)，(x>－3)  （2） 

解析:

（1）∵A（－2k， 2）是函数y=f^－1(x)图像上的点．

∴B（2，－2K）是函数y=f(x)上的点．     ∴-2k=3²+k

∴k=－3， ∴y=f(x)=3^x－3 ………………………………………3分

∴y=f^－1(x)=log₃(x+3)，(x>－3) ………………………………6分

（2）将y=f^－1(x)的图像按向量=（3，0）平移，得函数y=g(x)=log₃x(x>0) ……8分

要使2f^－1(x+)－g(x)≥1 恒成立，

即使2log₃(x+)－log₃??x≥1恒成立．

所以有x+≥3在x>0时恒成立，

只须（x+）_min≥3．…………………………11分

又x+(当且仅当x=时取等号)

∴（x+）_min=4 ，

只须4≥3，即m≥．

∴实数m的取值范围为……………………………14分