Question

14．设P（x，y）是曲线C：（x+2）²+y²=1上任意一点，则$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]
• B． （-∞，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• D． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由曲线C方程是x²+y²+4x+3=0，知曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为α，则$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$，由此入手能够求出$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：（x+2）²+y²=1的圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴对称，
设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），
直线OB与x轴的夹角为α，则$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO=$\sqrt{3}$，
故$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=$\frac{π}{6}$，
∵曲线C是一个圆，关于X轴对称，
∴α=-$\frac{π}{6}$时，直线$\frac{y}{x}$与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，
∴$\frac{y}{x}$=tanα=tan（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的对称性的合理运用．