Question

关于函数f(x)=sin(2x-

π

4

)，有下列命题：
①其表达式可写成f(x)=cos(2x+

π

4

)；
②直线x=-

π

8

是f(x)图象的一条对称轴；
③f（x）的图象可由g（x）=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立
则其中真命题为（　　）

A．②③

B．①②

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：①将两函数解析式化简整理，若表示同一个函数，则①正确，否则错误．
②若x=-

π

8

时，f（x）取得最值，则②正确．否则错误．
③根据左加右减原则，写出平移后图象对应的解析式，进行对照可以断定正误
④考虑先取特殊值，比如取α=

π

2

等进行验证．

解答：解：f(x)=sin(2x-

π

4

)=

2

2

（sin2x-cos2x）．
f(x)=cos(2x+

π

4

)=

2

2

（cos2x-sin2x）．与原函数不为同一个函数，①错误．
②x=-

π

8

时，f（x）=sin[2×（-

π

8

）-

π

4

]=sin（-

π

2

）=-1，函数取得最小值，所以直线x=-

π

8

是f(x)图象的一条对称轴．②正确
③将g（x）=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到，得到图象对应的解析式是y=sin2（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

）=-cos2x，与f（x）不为同一个函数．③错误．
④取α=

π

2

，f（x+α）=f（x+

π

2

）=sin[2(x+

π

2

)-

π

4

]=sin（2x+

3π

4

），f（x+3α）=f（x+3•

π

2

 ）=sin[2(x+

3π

2

)-

π

4

]=sin（2x+3π-

π

4

）=sin（2x+2π+π-

π

4

）=sin（2x+

3π

4

），
所以存在取α=

π

2

∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立． ④正确．
故选C．

点评：本题考查三角函数图象性质，三角函数式的化简，三角函数图象变换．在图象平移变换中，针对的是x的变化，③中，平移后相位应由2x变化为2（x-

π

4

）即为2x-

π

2

，而不是2x-

π

4

．