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关于函数f(x)=sin(2x-
π
4
)
,有下列命题:
①其表达式可写成f(x)=cos(2x+
π
4
)

②直线x=-
π
8
是f(x)
图象的一条对称轴;
③f(x)的图象可由g(x)=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位得到;
④存在α∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立
则其中真命题为(  )
分析:①将两函数解析式化简整理,若表示同一个函数,则①正确,否则错误.
②若x=-
π
8
时,f(x)取得最值,则②正确.否则错误.
③根据左加右减原则,写出平移后图象对应的解析式,进行对照可以断定正误
④考虑先取特殊值,比如取α=
π
2
等进行验证.
解答:解:f(x)=sin(2x-
π
4
)
=
2
2
(sin2x-cos2x).
f(x)=cos(2x+
π
4
)
=
2
2
(cos2x-sin2x).与原函数不为同一个函数,①错误.
x=-
π
8
时,f(x)=sin[2×(-
π
8
)-
π
4
]=sin(-
π
2
)=-1,函数取得最小值,所以直线x=-
π
8
是f(x)
图象的一条对称轴.②正确
③将g(x)=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位得到,得到图象对应的解析式是y=sin2(x-
π
4
)=sin(2x-
π
2
)=-cos2x,与f(x)不为同一个函数.③错误.
④取α=
π
2
,f(x+α)=f(x+
π
2
)=sin[2(x+
π
2
)-
π
4
]
=sin(2x+
4
),f(x+3α)=f(x+3•
π
2
 )=sin[2(x+
2
)-
π
4
]
=sin(2x+3π-
π
4
)=sin(2x+2π+π-
π
4
)=sin(2x+
4
),
所以存在取α=
π
2
∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立. ④正确.
故选C.
点评:本题考查三角函数图象性质,三角函数式的化简,三角函数图象变换.在图象平移变换中,针对的是x的变化,③中,平移后相位应由2x变化为2(x-
π
4
)即为2x-
π
2
,而不是2x-
π
4
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=mx-2+
2
-1
(m>0,m≠1)的图象恒通过定点(a,b).设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)若动点T(t,0)在椭圆E长轴上移动,点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S(m,n),求
n
m
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杭州二模)已知函数f(x)=ax3+
1
2
x2
在x=-1处取得极大值,记g(x)
1
f′(x)
.某程序框图如图所示,若输出的结果S>
2011
2012
,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•杭州二模)设函数f(x)=
1
x2+x
.某程序框图如图所示,若输出的结果S>
2011
2012
,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
x+2,x≤-1
-x,-1<x<1
x-2,x≥1
,关于x的方程f(x-1)=k(其中|k|<1)的所有根的和为S,则S的取值范围是(  )
A、(-4,-2)
B、(-3,3)
C、(-1,1)
D、(2,4)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x).令g(x)=∣f (x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

   (Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值:

  (Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。

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