Question

在△ABC中，A（cosx，cos2x），B（-

3

sinx，-cosx），C（λ，1），0≤x≤π，若△ABC的重心在y轴负半轴上，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：由题知，△ABC的重心G在y轴的负半轴上，故其横坐标为0，纵坐标为负数，利用重心坐标公式，用三个顶点的坐标表示出重心的坐标，根据坐标的符号建立不等式，解出x的取值范围．再得到：λ=

3

sinx+cosx，

π

3

＜x＜

π

2

，先利用正弦的和角公式化简，再由正弦函数的性质求出λ的 取值范围．

解答：解：△ABC的重心G在y轴的负半轴上．
则

cosx- 3 sinx+λ

3

=0，且

cos2x-cosx+1

3

＜0，0≤x≤π
所以  2cos²x-1-cosx+1＜0，即cosx（2cosx-1）＜0，0＜cosx＜

1

2

，故

π

3

＜x＜

π

2

∴λ=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)
∵

π

3

＜x＜

π

2

，

π

6

＜x-

π

6

＜

1

3

π，

1

2

＜sin(x-

π

6

)＜

3

2

，1＜2sin(x-

π

6

)＜

3

故 1＜λ＜

3

，
λ的取值范围是（1，

3

）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，解题的关键是掌握三角形的重心公式及三角函数的恒等变换公式，正弦函数的单调性等，本题是三角函数公式的综合运用题，考查了运用公式变形的能力