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【题目】已知函数

1)讨论fx)的单调性;

2)证明:当﹣1a0时,fx)存在唯一的零点x0,且x0随着a的增大而增大.

【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析

【解析】

1)先求得函数的定义域,求得函数的导函数,对分成等四种情况进行分类讨论,由此求得的单调区间.

2时,由(1)得到的单调性,结合零点存在性定理判断出存在唯一零点.令,由此对分离常数,利用导数证得增大而增大.

1fx)的定义域为(0+∞);

①当a0时,,则fx)在(0+∞)上单调递减;

②当a0时,,而

fx)在上单调递减,在上单调递增;

③当﹣1a0时,f′(x)<0,则fx)在(0+∞)上单调递减;

④当a<﹣1时,fx)在上单调递增,在上单调递减;

综上,当a<﹣1时,fx)在上单调递增,在上单调递减;

当﹣1a0时,f′(x)<0,则fx)在(0+∞)上单调递减;

a0时,fx)在上单调递减,在上单调递增;

2)由(1)得当﹣1a0时,fx)在(0+∞)上单调递减;

fx)至多有一个零点;

又﹣1a0

f1)=a+10

gx)=x1lnx,则

gx)在(01)上单调递减,在(1+∞)上单调递增;

gx)≥g1)=0,即x1lnx0,当且仅当x1时取等号;

fx)存在唯一得零点

fx0)=0,得,即

x0∈(1+∞),

,即ax0的函数;

x∈(1+∞),则

hx)为(1+∞)上的增函数;

增大而增大,反之亦成立.

x0随着a的增大而增大.

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