【题目】已知函数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当﹣1<a<0时,f(x)存在唯一的零点x0,且x0随着a的增大而增大.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)先求得函数的定义域,求得函数的导函数,对分成等四种情况进行分类讨论,由此求得的单调区间.
(2)时,由(1)得到的单调性,结合零点存在性定理判断出存在唯一零点.令,由此对分离常数,利用导数证得随增大而增大.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞);
;
①当a=0时,,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②当a>0时,,而;
则f(x)在上单调递减,在上单调递增;
③当﹣1≤a<0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;
④当a<﹣1时,f(x)在上单调递增,在上单调递减;
综上,当a<﹣1时,f(x)在上单调递增,在上单调递减;
当﹣1≤a≤0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增;
(2)由(1)得当﹣1<a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴f(x)至多有一个零点;
又﹣1<a<0;
∴,f(1)=a+1>0,;
令g(x)=x﹣1﹣lnx,则;
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
g(x)≥g(1)=0,即x﹣1﹣lnx≥0,当且仅当x=1时取等号;
∴;
∴f(x)存在唯一得零点;
由f(x0)=0,得,即;
∵x0∈(1,+∞),;
∴,即a是x0的函数;
设,x∈(1,+∞),则;
∴h(x)为(1,+∞)上的增函数;
∴随增大而增大,反之亦成立.
∴x0随着a的增大而增大.
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【题目】已知椭圆的对称中心为原点,焦点在轴上,焦距为,点在该椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,点位于第一象限,是椭圆上位于直线两侧的动点.当点运动时,满足,问直线的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献.例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则某一等人比其下一等人多得________斤金.(不作近似计算)
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【题目】已知f(x)是定义在上的单调函数,且对任意的x∈都有,则方程的一个根所在的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
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【题目】在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)当时,写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点,设直线l与曲线C交于A,B两点,试确定的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=,BC=1,E,F分别为AB,PC中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:平面PAC⊥平面PDE.
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