Question

设锐角三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a²+b²-c²=ab．
（1）求∠C的度数；  （2）求∠A的取值范围； （3）求sinA+sinB的范围．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由第一问求出C的度数，根据三角形的内角和定理得到A+B的度数，再由三角形为锐角三角形，即可得到A的范围；
（3）由第二问得到的A与B的关系式，用B表示出A，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，同第二问的方法求出由B的范围，得到这个角的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围．

解答：解：（1）∵a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=60°；
（2）∵C=60°，
∴A+B=120°，又△ABC为锐角三角形，
∴30°＜A＜90°；
（3）由A+B=120°，得到A=120°-B，
∴sinA+sinB=sin（120°-B）+sinB
=sin120°cosB-cos120°sinB+sinB
=

3

2

cosB+

3

2

sinB
=

3

（

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=

3

sin（B+30°），
又30°＜B＜90°，∴60°＜B+30°＜120°，
∴

3

2

＜sin（B+30°）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+30°）≤

3

，
则sinA+sinB的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．