Question

对于定义域为R的函数f（x），给出下列命题：
①若函数f（x）满足条件f（x-1）+f（1-x）=2，则函数f（x）的图象关于点（0，1）对称；
②若函数f（x）满足条件f（x-1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于y轴对称；
③在同一坐标系中，函数y=f（x-1）与y=f（1-x）其图象关于直线x=1对称；
④在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1-x）其图象关于y轴对称．
其中，真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①取点（x，f（x）），则关于点（0，1）对称点的坐标为（-x，2-f（x）），利用条件可得结论；
②令t=1-x，有f（t）=f（-t），则函数y=f（x）的图象关于直线y轴对称；
③f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，利用图象的变换，可得结论；
④在同一坐标系中，点（x，y）在函数y=f（1+x）的图象上，则（-x，y）在y=f（1-x）的图象上，可得结论．

解答：解：①取点（x，f（x）），则关于点（0，1）对称点的坐标为（-x，2-f（x））
∴2-f（x）=f（-x）
∵f（x-1）+f（1-x）=2，∴f（x）+f（-x）=2，∴2-f（x）=f（-x），即①正确；
②若f（1-x）=f（x-1），令t=1-x，有f（t）=f（-t），则函数y=f（x）的图象关于直线y轴对称，即②正确；
③∵f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象可以由f（x）与y=f（-x）的图象向右移了一个单位而得到，从而可得函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，即③正确；
④在同一坐标系中，点（x，y）在函数y=f（1+x）的图象上，则（-x，y）在y=f（1-x）的图象上，∴函数y=f（1+x）与y=f（1-x）其图象关于y轴对称，即④正确．
综上，①②③④均为真命题．
故选D．

点评：本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，有难度．