Question

如图2-3-15,已知△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CAE=∠B.

图2-3-15

(1)求证:AE与⊙O相切于点A.

(2)当AB不是直径时,其他条件不变,结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

Answer 1

(1)证明:∵AB是直径,

∴∠C=90°.

∴∠B+∠BAC=90°.

又∵∠B=∠CAE,∴∠BAC+∠CAE=90°.

∴AB⊥AE.

∴AE与⊙O相切于点A.

(2)解析:当AB不是直径时,结论仍然成立,如图2-3-16,2-3-17分两种情况,证明方法相同.

       

            图2-3-16                              图2-3-17

证明:连结AO,并延长AO交⊙O于点D,

∵AD是直径,∴∠D+∠DAC=90°.

又=,∴∠B=∠D.

∵∠B=∠CAE,∴∠CAE+∠DAC=90°.

∴OA⊥AE.

∴AE与⊙O相切于点A.