Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上，M点满足

OA

=

AM

，M点的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若直线y=x-1与曲线C交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=-1，求a的值．

Answer 1

分析：（I）根据向量关系，可得M与A坐标之间的关系，利用点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上，即可求得曲线C的方程；
（II）将直线y=x-1与曲线C联立，利用韦达定理及

OP

•

OQ

=-1，建立方程，即可求a的值

解答：解：（I）设M（x，y），A（x₀，y₀）
∵M点满足

OA

=

AM

，
∴（x₀，y₀）=（x-x₀，y-y₀）
∴

x0= 1 2 x y0= 1 2 y

∵点A在圆x²+y²-2ax=0（a≠0）上
∴（

1

2

x）²+（

1

2

y）²-2a×

1

2

x=0（a≠0）
∴曲线C的方程为x²+y²-4ax=0（a≠0）；
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将直线y=x-1代入x²+y²-4ax=0，整理得2x²-2（2a+1）x+1=0
∴x1x2=

1

2

，x₁+x₂=2a+1
∴y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-2a+

1

2

∵

OP

•

OQ

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴

1

2

-2a+

1

2

=-1
∴a=1．
当a=1时，△=6²-8＞0
∴a的值为1．

点评：本题重点考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，将向量关系转化为坐标之间的关系．