Question

设数列{a_n}的通项公式为a_n=an+b（n∈N^*，a＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b₁₀；
（2）若a=2，b=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；  
（3）是否存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，a_n=2n-3，令a_n=2n-3≥10，可得最小的自然数n=7，从而求得b₁₀的值．
（2）令a_n≥m，求得 n≥

m+1

2

．根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N^*）．再由b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]，运算求得结果．
（3）假设存在a和b满足条件，根据b_m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，对于任意的正整数m，都有3m+1＜

m-b

a

≤3m+2．当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，不满足条件，当3a-1=0时，可得-

2

3

≤b＜-

1

3

，从而得出结论．

解答：解：（1）由题意可得，a_n=an+b=2n-3，令a_n=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b₁₀=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴a_n=an+b=2n-1，对于正整数，令a_n≥m，求得 n≥

m+1

2

．
根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，b_m=k（k∈N*）；
当m=2k时，b_m=k+1（k∈N*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m²+2m．
 （3）假设存在a和b满足条件，∵b_m=3m+2（m∈N*），
根据b_m的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥

m-b

a

．
对于任意的正整数m，都有3m+1＜

m-b

a

≤3m+2恒成立，即-2a-b≤（3a-1）m＜-a-b恒成立．
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-

a+b

3a-1

（或m≤-

2a+b

3a-1

），这与m是任意的正整数相矛盾．
当3a-1=0时，a=

1

3

，可得-

2

3

-b≤0＜-

1

3

-b，即-

2

3

≤b＜-

1

3

，进过检验，满足条件．
综上，存在a和b，使得bm=3m+2(m∈N*)，此时，a=

1

3

，且-

2

3

≤b＜-

1

3

．

点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题．