Question

已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为-1，0，3．
（1）若方程

f(x)

x

+2x+7a=0有两个相等的实根，求a的值；
（2）若函数λ（x）=f（x）+2x²在区间(-∞，

a

3

)内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数模型可设出函数解析式，代入方程

f(x)

x

+2x+7a=0，然后根据方程有两个相等的实根，利用判别式为0建立等式关系，解之即可．
（2）λ（x）在(-∞，

a

3

)内单调递减，可转化成λ'（x）≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，然后讨论a，建立关于a的不等关系，解之即可．

解答：解：（1）依题意，设f（x）=ax（x+1）（x-3）
∵

f(x)

x

+2x+7a=0有两个相等实根，
即ax²-（2a-2）x+4a=0有两个相等实根，
∴△=（2a-2）²-4a•4a=0，
即a=

1

3

或a=-1．
（2）∵λ（x）=ax³-（2a-2）x²-3ax在(-∞，

a

3

)内单调递减，
∴λ'（x）=3ax²-2（2a-2）x-3a≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，
∴a=0或

a＜0 λ• a 3 =3a•( a 3 )2-2(2a-2)• a 3 -3a≤0

解得a=0或a≤-1

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及恒成立问题，同时考查了等价转化的思想和运算求解的能力，属于基础题．