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已知双曲线2x2-2y2=1的两个焦点为F1,F2,P为动点,若|PF1|+|PF2|=4.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)求cos∠F1PF2的最小值.

解:(1)依题意双曲线方程可化为-=1,
则|F1F2|=2,
∴|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2.
∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
其方程可设为+=1
(a>b>0).
由2a=4,2c=2,
得a=2,c=1,
∴b2=4-1=3.则所求椭圆方程为+=1,
故动点P的轨迹E的方程为+=1.
(2)设|PF1|=m>0,
|PF2|=n>0,∠F1PF2=θ,
则由m+n=4,|F1F2|=2,
可知在△F1PF2中,
cosθ===-1
∵m+n=4≥2
∴mn≤4
∴cosθ≥-1=
cos∠F1PF2的最小值是
分析:(1)解出|F1F2|=2,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,依定义写出标准方程.
(2)在△F1PF2中,利用余弦定理将cos∠F1PF2用mn表示出来,根据其形式应选择用基本不等式求出它的最小值.
点评:(1)考查椭圆的定义与椭圆的标准方程;(2)考查余弦定理与基本不等式求最值.是圆锥曲线与解三角形基本不等式知识的一个综合题,知识覆盖面较广.
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(Ⅱ)求cos∠F1PF2的最小值;
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