【题目】椭圆: 的左右焦点分别为, ,左右顶点分别为, , 为椭圆上的动点(不与, 重合),且直线与的斜率的乘积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作两条互相垂直的直线与(均不与轴重合)分别与椭圆交于, , , 四点,线段、的中点分别为、,求证:直线过定点,并求出该定点坐标.
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【题目】已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).
(I)求的解析式及单调递减区间;
(II)若存在 ,使函数成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75km,且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员?
(2)求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.
(3)若划艇每小时最快行驶11.25km,划艇全速行驶,应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员,最快需多长时间?
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【题目】已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.
(Ⅰ)当时,
设
(i)写出方程的解;
(ii)若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
(Ⅱ)证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2)
(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,MN=AB,求直线l的方程;
(2)若圆C上存在两个点P,使得PA2+PB2=a(a>4),求a的取值范围.
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【题目】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为(),则出厂价相应地提高比例为,同时预计年销售量增加的比例为,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比应在什么范围内?
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【题目】在直角坐标系中,圆经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程;
(2)设点是上一动点,求点到直线的距离的最大值.
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