Question

三棱锥P—ABC中，△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分别为AB、PB的中点.

（1）求证：AC⊥PD；

（2）求二面角E—AC—B的正切值；

（3）求三棱锥P—CDE与三棱锥P—ABC的体积之比.

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

解析:

（1）取AC中点O，∵△PAC为等边三角形，∴PO⊥AC，

又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，

∴PO⊥面ABC，连结OD，则OD//BC，

∴DO⊥AC，

由三垂线定理知AC⊥PD.

（2）连接OB，过E作EF⊥OB于F，

又∵面POB⊥面ABC，∴EF⊥面ABC，

过F作FG⊥AC，连接EG，由三垂线定理知EG⊥AC，

∴∠EGF即为二面角E—AC—B的平面角

在在

∴ 

（3）由题意知

又

即.