Question

已知f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c．
（1）如果b=0，且f（x）在x=1时取得极值，求a的值，并指出这个极值是极大值还是极小值，说明理由；
（2）当a=-1时，如果函数y=f（x）的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数f'（x）=x³+x²+ax，根据x=1是f（x）的极值点，求出a值，从而得出f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2=x（x-1）（x+2），再讨论当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，从而得出结论．
（2）当a=-1时，f'（x）=x³+x²-x+b，直线x+2y+3=0的斜率为-

1

2

，依题意，方程x³+x²-x+b=2有三个不等的实根．设g（x）=x³+x²-x+b-2，利用导数求得g（x）极值，由函数的图象与直线有三个不同的交点，寻求函数的极值点，得到极值，通过比较函数的极值与参数b之间的关系即可得到答案．

解答：解：（1）由题意f(x)=

1

4

x4+

1

3

x3+

1

2

ax2+bx+c，b=0，
∴f'（x）=x³+x²+ax，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f'（1）=a+2=0，a=-2．
此时，f'（x）=x³+x²-2x=x（x²-x-2）=x（x-1）（x+2）
所以0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0
因此f（x）在x=1处取得极小值．
（2）当a=-1时，f'（x）=x³+x²-x+b，直线x+2y+3=0的斜率为-

1

2

，
依题意，函数y=f（x）的图象上有三个不同点处的切线与直线x+2y+3=0垂直
∴方程x³+x²-x+b=2有三个不等的实根．
设g（x）=x³+x²-x+b-2，
由g'（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）=0，
得x₁=-1，x₂=

1

3

．
当x变化时，g'（x），g（x）的变化状态如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

知，g（x）在x=-1处取得极大值，在x=

1

3

处取得极小值．
极大值为g（-1）=b-1，极小值为g（

1

3

）=b-

59

27

，
由b-1＞0，且b-

59

27

＜0，
得b的取值范围：1＜b＜

59

27

．

点评：本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，考查了二次函数的性质，综合考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想等数学思想，在求含参数的函数的单调区间时对学生的能力有较高的要求．