Question

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x²+y²=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x²+y²=8上，整理即可解出曲线C的方程．
（2）设出直线l的方程，与C的方程联立方程组，整理为一元二次方程，根据根的判别式△＞0，化简求出m的范围．

解答：解：（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
则点（x，2y）在圆x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8．
整理得曲线C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又KOM=

1

2

，
∴直线l的方程为y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1.

，
得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的方程问题．考查对知识的综合运用能力，需要用到一元二次方程的根的判别式．本题属于中档题．