Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

解：（1）由已知得：a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d…（2分）
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
∴3d²-6d=0
∵d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1，b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴ …（6分）
（2）由得，…（9分）
两式相减得，
∴
n=1时，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²=3²⁰¹³…（12分）
分析：（1）利用等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项，可得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），求出d，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可求数列的和．
点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．