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在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求以下各对异面直线所成的角:

(1)AB、CC1;(2)AB1、CD1;

(3)AB1、CD;(4)AB1、BC1.

解析:(1)∵ABCD—A1B1C1D1为正方体,

             ①

∴BB1与CC1平行,∴AB与BB1所成的锐角或直角就是AB与CC1所成的角.

又∵AB与BB1所成的角为直角,故AB与CC1所成的角为直角,即为90°,如图①.

(2)如图②,连结A1B,

由ABCD—A1B1C1D1为正方体可得A1D1∥AD,BC∥AD,

            ②

故有A1D1∥BC,

∴四边形A1D1CB是平行四边形.

∴A1B∥CD1.

因此,AB1与A1B所成的锐角或直角就是AB1、CD1所成的角.

由正方形的性质可知AB1与A1B所成的角为直角,

∴AB1、CD1所成的角为直角,即为90°.

(3)如图③,由AB与CD平行可得AB1与CD所成的角就是∠B1AB,而由正方形的性质可知这个角为45°.

               ③

∴AB1与CD所成的角为45°.

(4)如图④,连结AD1,如前所述可知AB与C1D1平行且相等,进而可知四边形ABC1D1为平行四边形,

∴AD1与BC1平行且相等,由此可知∠D1AB1即是所求的两条异面直线所成的角或其补角(现在还不知道这个角的大小).连结B1D1,

              ④

在△D1AB1中,AB1=B1D1=AD1(都是边长相等的正方形的对角线),

由此我们可知△D1AB1是正三角形,

∴∠D1AB1的大小为60°.

小结:(1)在求两条异面直线所成的角时,应注意充分利用题中现有的线段,在很多情况下,已知条件中已经存在与两条异面直线平行的线段,只需我们把它找到即可.

(2)在作两条异面直线的平行线时,我们通常采用平移的办法来解决,比如这个问题中,我们可以想象把线段CD1平移到A1B,这种方法看起来与作平行的效果是相同的,但实际应用中是非常简捷方便的.以后我们在解题的过程中一般都采用平移的方法来解决这个问题.

(3)在研究此类问题时,我们首先要把研究的对象(两条异面直线)通过平移的方法使它们成为两条相交直线.

(4)求两条异面直线所成的角,主要的问题是平移,找平行线,如果没有思路,我们可以试着把其中的一个线段平移,也可把两个线段都平移而得到两条相交直线.但是不管怎样平移,中心目标是能够形成一个可解的三角形.


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16、在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则
①四边形BFD′E一定是平行四边形;
②四边形BFD′E有可能是正方形;
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形;
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为
①③④
.(写出所有正确结论的编号)

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①四边形BFD′E一定是平行四边形;
②四边形BFD′E有可能是正方形;
③四边形BFD′E有可能是菱形;
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
其中所有正确结论的序号是
 

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