已知函数y=f(x),x∈R,有下列4个命题:
①若f(1+2x)=f(1-2x),则f(x)的图象自身关于直线x=1对称;
②f(x-1)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称;
③若f(x)为偶函数,且f(1+x)=-f(x),则f(x)的图象自身关于直线x=1对称;
④若f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),则f(x)的图象自身关于直线x=1对称;
其中正确命题的序号为( )
A.①③
B.②④
C.①②③
D.①②③④
【答案】分析:利用奇偶函数的定义和性质,得f(-x)与f(x)的关系,再利用函数图象关于直线x=a对称的条件f(2a-x)=f(x)
可以探讨各命题是否正确.
解答:解:∵f(1+2x)=f(1-2x),令t=2x∴f(1+t)=f(1-t)∴函数f(x)的图象自身关于直线x=1对称∴①对
∵f(x)的图象向右平移1个单位,可得f(x-1)的图象,将f(x)的图象关于y轴对称得f(-x)的图象,然后将其图象向右平移1个单位得f(1-x)的图象,∴f(x-1)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称∴②对.
∵f(1+x)=-f(x),∴f(2+x)=f(x)
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)∴f(2+x)=f(-x)∴f(x)的图象自身关于直线x=1对称∴③对.
∵f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2)
∴f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(x)的图象自身关于直线x=1对称
∴④对.
故选D
点评:本题主要考查了奇偶函数的定义和图象的对称性,同时考查了学生综合应用条件的能力,是个中档题.