Question

（2012•许昌一模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）若点M是棱PD的中点．求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中点E，先证明PE⊥面ABCD，可得PE⊥AC，证明AC⊥ED，可得AC⊥平面PED，从而PD⊥AC；
（Ⅱ）在平面ABCD内，过点E作EG⊥AB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，确定平面MAC、平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角M-AC-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接PE，DE，AC，设AC∩DE=F
∵PA=PB，E是AB中点，∴PE⊥AB
∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，
∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥AC
在直角△ABC与直角△DAE中，

AB

AD

=

BC

AE

，∴△ABC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB
∴∠AED+∠BAC=90°，∴AC⊥ED
∵PE⊥AC，PE∩ED=E
∴AC⊥平面PED
∵PD?平面PED
∴PD⊥AC；
（Ⅱ）在平面ABCD内，过点E作EG⊥AB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则M（-

1

2

，1，

3

2

），A（-1，0，0），C（1，1，0），D（-1，2，0）
∴

AC

=(2，1，0)，

AM

=(

1

2

，1，

3

2

)
设平面MAC的法向量为

m

=（x，y，z），则由

m • AC =0 m • AM =0

，可得

2x+y=0 1 2 x+y+ 3 2 z=0

，可取

m

=（1，-2，

3

）
又平面ACD的法向量为

n

=（0，0，1）
∴二面角M-AC-D的余弦值为

m • n

| m || n |

=

3

2 2

=

6

4

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直、面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确求平面的法向量是关键．