Question

选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵

1 2 2 a

的属于特征值b的一个特征向量为

1 1

，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线

x=2pt2 y=2pt

（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9．

Answer 1

分析：A、连接OD，则OD⊥DC，先确定∠ODE=30°，再在Rt△ODC中，可求BC的长；
B．根据二阶矩阵的特征值与特征向量的概念，建立方程组，即可求得结论；
C．化参数方程为普通方程，将点A（1，-2）代入，即可求得p的值；
D．a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1＞0，利用基本不等式即可证明．

解答：A、解：连接OD，则OD⊥DC，
在Rt△OED中，OE=

1

2

OB=

1

2

OD，所以∠ODE=30°，
在Rt△ODC中，∠DCO=30°，由DC=2得OD=DCtan30°=

2 3

3

，
所以BC=

2 3

3

．
B．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知

1 2 2 a

1 1

=b

1 1

，
所以

b=3 b=a+2

，解得a=1，b=3．
C．解：由

x=2pt2 y=2pt

（t为参数，p为正常数），消去参数t得y²=2px，将点A（1，-2）代入y²=2px得p=2．

D．证明：因为a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1＞0，
所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

=(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥3(a1a2a3)

1

3

•3(

1

a1

1

a2

1

a3

)

1

3

=9，
当且仅当a1=a2=a3=

1

3

时等号成立，
所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥9．

点评：本题是选考内容．A．主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力；B\主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力；C主要考查参数方程，考查运算求解能力；D主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．