【题目】在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,﹣),(0,
)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若⊥
, 求k的值.
【答案】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,﹣),(0,
)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴b=
=1,故曲线C的方程为x2+
=1.
(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐标满足消去y并整理得
(k2+4)x2+2kx﹣3=0,
故x1+x2=﹣,x1x2=﹣
.
∵⊥
∴x1x2+y1y2=0.
∵y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴x1x2+y1y2=﹣﹣
﹣
+1=0,化简得﹣4k2+1=0,所以k=±
.
【解析】(1)由题中条件:“点P到两点(0,﹣),(0,
)的距离之和等于4,”结合椭圆的定义知其轨迹式样,从而求得其方程.
(2)将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去y得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系,结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G为BC的中点.
(1)求证:FG平面BED;
(2)求证:平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,
在
和
处取得极值,且
,曲线
在
处的切线与直线
垂直.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明关于的方程
至多只有两个实数根(其中
是
的导函数,
是自然对数的底数).
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【题目】(2017·全国卷Ⅲ文,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
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【题目】已知椭圆,过
上一点
的切线
的方程为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率不为
的直线交椭圆于
两点,试问
轴上是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
:
上一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】某机械厂今年进行了五次技能考核,其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等,成绩统计情况如茎叶图所示(其中是0
9的某个整数)
(1)若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训,从成绩稳定性角度考虑,你认为谁去比较合适?
(2)若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析,在抽取的两次成绩中,求至少有一次成绩在(90,100]之间的概率.
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