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精英家教网如图,所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′,四边形ABCD是菱形,其中E为BD的中点.
(1)求证:C′E∥面AB′D′;
(2)求证:面ACD′⊥面BDD′;
(3)求四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分体积.
分析:(1)取B′D′的中点为F,连AF,C′F,根据三角形中位线定理,我们易判断出AF∥C′E,结合线面平行的充要条件,即可得到C′E∥平面AB′D′.
(2)连接AC,CD′,结合菱形及正三棱柱的几何特征,我们可以得到AC⊥BD,AC⊥DD',根据线面垂直的判定定理我们可以得到AC⊥平面BDD′,再由面面垂直的判定定理,即可得到面ACD′⊥面BDD′;
(3)由图得四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD,求出棱锥的高及底面积,代入棱锥体积公式,即可得到四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分体积.
解答:解:(1)证明:如图取B′D′的中点为F,连AF,C′F,易得AFC′F为平行四边形.
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∴AF∥C′E,又AF?平面AB′D′
∴C′E∥平面AB′D′..(4分)
(2)证明:连接AC,CD′,因ABCD是菱形故有AC⊥BD
又BCD-B′C′D′为正三棱柱
故有AC⊥DD'
所以AC⊥平面BDD′
,而AC?平面ACD′
所以面ACD′⊥面BDD′(9分)
(3)设B′D与BD′的交点为O,
由图得四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD
且易得O到下底面的距离为1,SABCD=2×
1
2
×2×2sin600=2
3

所以公共部分的体积为
1
3
×2
3
×1=
2
3
3
(14分)
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,组合几何体的体积,及直线与平面平行的判定,要求一个几何体的体积,我们要先判定几何体的形状,然后求出底面积,高,代入公式即可求解.
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