Question

【题目】椭圆的离心率为, 过点, 记椭圆的左顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设垂直于轴的直线交椭圆于两点, 试求面积的最大值；

（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点，且, 求证: 直线恒过一个定点.

Answer 1

【答案】（1）x2＋2y2＝1；（2）；（3）直线BC恒过定点.

【解析】试题分析：（1）题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， 求出 、 、，即可得结果；（2）设B(m，n)，C(－m，n)，则S△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|，根据点 在椭圆上与基本不等式可得结果；（3）AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)，

由消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，可得 的坐标，从而得 的方程，进而可得结果.

试题解析：

（1）由，解得

所以椭圆C的方程为x2＋2y2＝1.

（2） 解：设B(m，n)，C(－m，n)，则S△ABC＝×2|m|×|n|＝|m|·|n|，

又1＝m2＋2n2≥2＝2|m|·|n|，所以|m|·|n|≤，

当且仅当|m|＝|n|时取等号，

从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为.……………… 8分

（3）证明：因为A(－1,0)，所以AB：y＝k1(x＋1)，AC：y＝k2(x＋1)，

由消去y，得(1＋2k)x2＋4kx＋2k－1＝0，解得x＝－1或

∴ 点，同理，有，而k1k2＝2，

∴

∴ 直线BC的方程为

即，即，

所以，得直线BC恒过定点.