Question

连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2

7

和4

3

，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．

解答：解：②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，
若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．
分别取球O的两条弦AB、CD的中点E、F，则OE=

42-7

=3，OF=

42-12

=2，
即可以看做弦AB、CD分别是球半径为3和2的球的切线，且弦AB在半径为2的球的外部，
弦AB与CD只可能相交与M点，且MN的最大距离为2+3=5，最小距离为3-2=1，当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．
综上可得正确的命题的序号为①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了球体的切线的性质及其空间位置关系问题，此类考题对空间想象能力的要求较高，考生对与命题①②的正确性不能分析到位，是该题的错误率较高．本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．