Question

【题目】如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC上一点，当F为DC的中点时，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求证：平面PCB；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）平面可得，从而证出平面，则，

从而可证出平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面和平面的的一个法向量，再根据法向量求出二面角．

（Ⅰ）证：平面，，

又正方形中，，，平面，

又平面，，

，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，

，，平面；

（Ⅱ）解：以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，则，，

，令，得到，，；

又，，，且平面，

平面的一个法向量为；

设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，

则，

二面角的余弦值为．