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【题目】已知椭圆的两个焦点为F1(﹣ ,0),F2 ,0),M是椭圆上一点,若 =0,| || |=8.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P是椭圆上任意一点,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点,直线PA1 , PA2与直线x= 分别交于E,F两点,试证:以EF为直径的圆交x轴于定点,并求该定点的坐标.

【答案】
(1)

解:由题意可设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),

=0,∴ ,设| |=m,| |=n.又| || |=8.

∴m2+n2= ,m+n=2a,mn=8,a2=b2+5.

解得:a=3,b=2.

∴椭圆的方程为 =1


(2)

解:由(1)得A1(﹣3,0),A2(3,0),设P(x0,y0),则直线PA1的方程为y= (x+3),它与直线x= 的交点的坐标为E

直线PA2的方程为:y= (x﹣3),它与直线x= 的交点的坐标为F

再设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m,0),则QE⊥QF,

从而kQEkQF=﹣1,即 × × =﹣

=﹣ ,又 =9

=1,解得m= ±1.

故以EF为直径的圆交x轴于定点,该定点的坐标为


【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为: + =1(a>b>0),由 =0,可得 ,设| |=m,| |=n.又| || |=8.可得m2+n2= ,m+n=2a,mn=8,a2=b2+5.解出即可得出.(2)由(1)得A1(﹣3,0),A2(3,0),设P(x0 , y0),则直线PA1的方程为y= (x+3),它与直线x= 的交点的坐标为E,直线PA2的方程为:y= (x﹣3),它与直线x= 的交点的坐标为F.再设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m,0),则QE⊥QF,可得kQEkQF=﹣1,又 =9 .即可得出.

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