Question

（2012•湖北模拟）设

e1

，

e2

，

e3

为空间的三个向量，如果λ1

e1

+λ2

e2

+λ3

e3

=

0

成立的充要条件为λ₁=λ₂=λ₃=0，则称

e1

，

e2

，

e3

线性无关，否则称它们线性相关．今已知

a

=(1，-2，3)，

b

=(-3，1，1)，

c

=(2，-1，m)线性相关，那么实数m等于

0

．

Answer 1

分析：根据题意，分析可得，若三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x、y、z，使得x

a

+y

b

+z

c

=

0

成立，由向量的坐标运算可得

x-3y+2z=0  -2x+y-z=0 3x+y+mz=0

，分析可得x=-

1

5

z，y=

3

5

z，进而有mz=0，又由x、y、z不全为0，分析可得z≠0，即可得答案．

解答：解：根据题意，若

a

=(1，-2，3)，

b

=(-3，1，1)，

c

=(2，-1，m)线性相关，
则存在不全为0的实数x、y、z，使得x

a

+y

b

+z

c

=

0

成立，
即

x-3y+2z=0  -2x+y-z=0 3x+y+mz=0

，
解

x-3y+2z=0 -2x+y-z=0

，可得x=-

1

5

z，y=

3

5

z，
将其代入3x+y+mz=0中，有mz=0，
又由x、y、z不全为0，且x=-

1

5

z，y=

3

5

z，
则z≠0，
故有m=0，
故答案为0．

点评：本题考查空间向量的线性相关的判断，关键是正确理解空间向量的线性相关定义．