Question

【题目】已知点F为椭圆 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 与椭圆E有且仅有一个交点M． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线 与y轴交于P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|2=|PA||PB|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，得 ，则椭圆E为： ， 联立 ，得x2﹣2x+4﹣3c2=0，
∵直线 与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴△=4﹣4（4﹣3c2）=0，得c2=1，
∴椭圆E的方程为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
∵直线 与y轴交于P（0，2），∴ ，
当直线l与x轴垂直时， ，
由λ|PM|2=|PA||PB|，得 ，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
联立 ，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，
依题意得， ，且△=48（4k2﹣1）＞0，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
综上所述，λ的取值范围是 ．

【解析】（Ⅰ）由题意可得a，b与c的关系，化椭圆方程为 ，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得M坐标，得到|PM|2 ， 当直线l与x轴垂直时，直接由λ|PM|2=|PA||PB|求得λ值；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2=|PA||PB|，把λ用含有k的表达式表示，则实数λ的取值范围可求．