Question

（2013•宁德模拟）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e=

1

2

．
（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；
（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得

PF

•

PA

=1？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点F在直线l：x-y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e=

1

2

联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）假设椭圆E上存在点P，使得

PF

•

PA

=1，设出P点坐标，求出向量

PF

和

PA

，代入

PF

•

PA

=1后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[-a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．

解答：解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直线l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=2，
∴b=

a2-c2

=

22-12

=

3

．
从而椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，
∴b=

a2-c2

=

a2- a2 4

=

3 a

2

，
椭圆E的方程为

x2

a2

+

4y2

3a2

=1，其左焦点为F(-

1

2

a，0)，右顶点为A（a，0），
假设椭圆E上存在点P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得

PF

•

PA

=1，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆上，∴y02=-

3

4

x02+

3

4

a2，
由

PF

•

PA

=(-

1

2

a-x0，-y0)•(a-x0，-y0)
=(-

1

2

a-x0)(a-x0)+y02
=-

1

2

a2-

1

2

ax0+x02-

3

4

x02+

3

4

a2
=

1

4

(x0-a)2=1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在点P，使得

PF

•

PA

=1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论．此题是中档题．